一次関数と二次関数に囲まれた三角形の面積

一次関数と二次関数で囲まれた中にできる三角形の面積を「パッ」と出す方法です。

＜問＞図１のように曲線：$y=x^2$と直線：$y=2x+8$でが点A、点Ｂで交わっているとき、△OABの面積を求めよ。

１．△OABを描く。

△OABを描きます。

２．各交点（点Ａ、点Ｂ、点Ｃ）の座標を書き込む。

連立方程式を解きます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\nonumber
y=x^{2}\\
y=2x+8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

\begin{align} x^{2} & =2x+8 \nonumber \\x^{2}-2x-8 & =0 \nonumber \\(x+2)(x-4) & =0 \nonumber \\x=-2,x=4 \nonumber \end{align}

点Ａ（-2,4）、点Ｂ（4,16）、点Ｃは、$y=2x+8$の切片なので、点Ｃ（0,8）となり、図の中に記入します。（図２）

３．点Ａ、点Ｂを真下の$x$軸上へ移動し、△MCNをつくる。

等積変形の考え方を利用します。点Ａと点Ｂを真下の$x$軸上へ移動します。移動したそれぞれの点を点Ｍ（4,16）、点Ｎ（-2,4）とし、△MCNを描きます。この△MCNの面積と求めたい△OABの面積は等しいです。（等積変形により、△OMC＝△OAC、△ONC＝△OBC）

４．△MCNの面積を求める。

△MCNの底辺はMN＝2+4=6、高さはCO＝8です。

\begin{align} \rm{△MCN} &=6 \times 8 \times \frac{1}{2} \nonumber \\ & = 24 \nonumber\end{align}

△MCNの面積は、24です。すなわち、△OABの面積は、24です。

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普通は、△OABの面積を△OCAと△OCBに分けてそれぞれの面積を求め、それらを合わせます。