福岡県小郡市の自立型個別指導専門の塾。小郡市唯一の通信制高校。西鉄小郡駅から徒歩10分。
  • header-image05
  • header-image02
  • header-image01

直角三角形の辺の比を文字式として利用する方法


$1:2:\sqrt{3}$や$1:1:\sqrt{2}$、$3:4:5$、$5:12:13$などの直角三角形の辺の比を利用した辺の長さを求める方法を紹介します。

一般的な辺の比の利用のし方は、次のようなものです。

<例1>下図の直角三角形で、$x$、$y$の長さを求めなさい。

図1の直角三角形は、30゜、60゜の特別な直角三角形です。辺の比は、$BC:AB:AC=1:2:\sqrt{3}$です。

【$x$を求める式】$AC:AB=\sqrt{3}:2より、\\\begin{align}3:x&=\sqrt{3}:2\nonumber\\\sqrt{3}x&=6\nonumber\\x&=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\tag{答}\end{align}$

【$y$を求める式。】$AC:BC=\sqrt{3}:1より、\\\begin{align}3:y&=\sqrt{3}:1\nonumber\\\sqrt{3}y&=3\nonumber\\y&=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\tag{答}\end{align}$

このやり方は比例式とよばれるものです。普通は、この比例式を利用します。しかし、比例式が苦手という人もいるので、その場合は、下記の方法を試してみてください。

比を文字式で表す。

比を文字式にして利用する方法を紹介します。例えば、A:B=1:2というのは、Aを元にBを見ると、BはAの2倍(Bは2A)という意味で、次のように表すことができます。A:B=1A:2A。さらに、一般化して、元になる値を適当な文字t(なんでもよいです。今回はtとします。)で表すとA:B=1t:2tとなります。

辺の比を文字式として表して利用する。

辺の比は、$BC:AB:AC=1:2:\sqrt{3}$なので、これを、$BC:AB:AC=1t:2t:\sqrt{3}t$と表してみます。文字$t$はどんな文字でもよいです。自分で、分かりやすい文字にしておきます。

図2のように表せます。

$ABはx=2t、BCはy=1t、ACは\sqrt{3}t=3と表せます。$

したがって、

$\sqrt{3}t=3より、\\\begin{align}t&=\frac{3}{\sqrt{3}}\nonumber\\t&=\color{red}{\sqrt{3}}\nonumber\end{align}$

となります。

次に、この$t = \sqrt{3} $の値を利用して、$x$と$y$を求めます。

\begin{align} x&=2tより、x=2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3} \tag*{$ x=\color{red}{2 \sqrt{3}}$} \\ y&=1tより、y=1 \times \sqrt{3}= \sqrt{3} \tag*{$ y= \color{red}{\sqrt{3}} $} \end{align}

<例2>下図(図3)の直角三角形で、$x$の長さを求めなさい。

45゜の直角三角形です。つまり、直角二等辺三角形です。辺の比は、$1:1:\sqrt{2}$です。ここで、文字tを利用して、$1t:1t:\sqrt{2}t$と書き換えてみます。図3-2が実際の図形の中に辺の比を文字式として書き込んだものです。

図3-2から、$\sqrt{2}t = 6$を使って、$t$の値を求めます。

\begin{align} \sqrt{2}t &= 6 \nonumber\\ t &= \frac{6}{\sqrt{2}} \nonumber \\ t & = \color{red}{3\sqrt{2}}  \nonumber\end{align}

$x = 1t $なので、

$x = 1 \times 3\sqrt{2} = \color{red}{3\sqrt{2}}$

となります。

<例3>下図(図4)で、$x$の値を求めなさい。

図4-1で、2.7と3.6が3:4:5のうちのどれかの比にあてはまることを確認します。(ここで、なぜ、いきなり3:4:5という比が出てきたかはあまり考えません。おそらく、辺の比が何か手がかりになるのだろうと予測していると思ってください。)

\begin{align} \color{blue}{2.7} &: \color{red}{3.6} \nonumber \\  27 &: 36 \nonumber \\ \color{blue}{3} &: \color{red}{4} \nonumber\end{align}

したがって、2.7が3、3.6が4となります。$2.7 = 3t$、$3.6 = 4t$として、どちらかの式を利用して$t$を求めます。ここでは、$3t = 2.7$を用いて$t$を求めます。

\begin{align} 3t &= 2.7 \nonumber\\ t &= \color{red}{0.9} \nonumber \end{align}

$5t = x$に$t = 0.9$を代入し、$5 \times 0.9 = x$、$x = \color{red}{4.5}$となります。

<例4>下図(図5)の$x$の値を求めなさい。

 

例3と同様に、比を簡単にして、どんな比になっているのかを予測してみましょう。

\begin{align} \color{blue}{10.4} &: \color{red}{4} \nonumber \\  \color{blue}{104} &: \color{red}{40 }\nonumber \\ \color{blue}{13} &: \color{red}{5} \nonumber\end{align}

おっっ!13:5となった。これは、明らかに5:12:13ではありませんか。さっそく、5t:12t:13t(図5-2)としてみます。

図5-2から、4=5tを使って、tの値を求めます。

\begin{align} 5t &=4 \nonumber \\ t &=\frac{4}{5}= \color{red}{0.8} \nonumber\end{align}

そして、xの値を求めます。

\begin{align} x &= 12t \nonumber \\ x &= 12 \times 0.8 = \color{red}{9.6} \nonumber\end{align}

<まとめ>

比を用いた、比例式は数学だけでなく、理科などの計算分野で多く利用されます。もちろん、高校・大学でも。

しかし、比例式は苦手だという人もかなりいます。そのときは、ぜひ、このやり方も参考にしてください。


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

お知らせ

2018年冬期特訓講習

志義では、下記の日程で、冬期特訓講習指導を実施します。 期間:12月22日(土)〜1月7日(月) 対象:小学生〜高校生 指導内容:面談の上、各自の学習要件に合わせますが、原則、2学期の復習です。  

12月17日・1月21日 学校説明会

新入学生・編入学生の募集をします。 説明会の内容は、下記の通りです。 4月入学の手続きを説明 募集要項の説明 各コースの説明 学習方法の説明 実施日時 12月17日(土)14:00〜16:00 1月21日(土)14:00 …

冬期 大原中のみなさんへ

志義ゼミナールの冬期講習が12月24日に開講します。 冬期特訓講習 募集残席数                    高1:2名  中3:2名  中2:2名  中1:3名  小学生各学年:2名 秘伝!塾長の点取りのハウト …

大原中1・中2のみなさんへ その勉強で大丈夫????

10月6日(木)、7日(金)に大原中では、2学期中間考査が始まります。1学期とくらべると、その内容の複雑さに驚いている人が多いのではありませんか。 特に、中1、中2のみなさんへ。 本来は自力でなんとかできると思っていても …

上へボタン